Автореферат

Обсуждаются результаты, полученные в работе Мкртчяна К.Ш. «O двойственном характере поперечных колебаний упругого стержня» (ПММ. 1999, Т.63, Вып.6, с.1055-1058).

Показывается, что вследствие допущения произвола при определении причинно-следственной связи колебательного процесса стержня, нарушается закон сохранения энергии. В результате получаются фиктивные силы и ложные резонансы.

Список принятых обозначений

w(t,y) – относительное смещение сечения стержня с координатами (t,y),

А - амплитуда кинематического возбуждения,

ω - круговая частота вынужденных колебаний,

T – период вынужденных колебаний,

k_m - m - я собственная частота изгибных колебаний стержня,

Е - средняя по времени запасенная энергия установившихся колебаний стержня,

áΠñ, áΚñ - усредненные по времени за один цикл потенциальная и кинетическая энергии стержня,

t - время.

к началу статьи

Л.А. Манукян

К ВОПРОСУ О ДВОЙСТВЕННОСТИ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

Где начало того конца, которым оканчивается начало?

Сочинения Козьмы Пруткова

В работе [1] рассматриваются поперечные колебания упругого стержня, когда одному концу придано перемещение, а другой конец свободен. Сделаны следующие предположения: 1) скорость распространения возмущений в стержне конечная, 2) невозмущенная часть при этом совершает вращательное движение вокруг средней линии. Угол вращения выражается углом искривления средней линии возмущенной части стержня. Получены два типа упругих колебаний: 1) стержень упруго колеблется за счет переданного через конец перемещения, 2) при совершении вращательного движения в стержне возникают упругие колебания и дополнительные силы, обусловленные упругостью.

В первой части задачи рассматриваются поперечные колебания упругого стержня конечной длины при кинематическом возбуждении одного из концов по закону Asinwt. Определены относительные перемещения стержня w₁(t,y) и резонансные частоты w=k_m, m=1,2,… (см. (1)-(5) в [1]). Заметим, что рассматриваемое в [1] уравнение (1) не является волновым, но при небольших значениях частоты w можно использовать в качестве математической модели изгибных колебаний стержней [2]. С этой точки зрения первое предположение вполне приемлемо. Для дальнейшего изложения, введем понятие причинно-следственной связи колебательного процесса стержня. Очевидно, что относительно первой части задачи, причиной является заданное движение конца стержня Asinwt, а следствием - перемещение произвольного сечения стержня w₁(t,y).

Переходим к обсуждению второй части задачи. Следуя второму предположению, следствие первой части, т.е. решение w₁(t,y), становится новой причиной, генерирует дополнительную силу, упругие колебания w₂(t,y) (см. (6)-(12) в [1]) и новые состояния резонанса w=(3±2√2)k_m. Относительное перемещение произвольного сечения стержня будет w = w₁+ w₂.

Зададимся вопросом. Насколько физически обосновано второе предположение, сделанное в [1]?

Рассмотрим логический ход рассуждений, используемый в [1]. Причина Asinwt возбуждает колебания в стержне, возникает следствие w₁.Взяв в качестве новой причины w₁, получаем следствие w₂. Допустим, что приведенная цепь логических рассуждений верна, тогда ничего не может мешать нам продолжить ее дальше. А именно, рассуждая аналогичным образом как в [1], приходим к выводу, что дополнительное перемещение w₂ в свою очередь может генерировать дважды дополнительную силу, которая возбуждает в стержне соответствующие дополнительные перемещения w₃и так процесс возбуждения дополнительных перемещений может продолжаться до бесконечности. Логическая цепь рассуждений схематически выглядит следующим образом

причина (Asinwt) Þ следствие(w₁) Þ следствие (w₂) Þ следствие (w₃) Þ и т.д.

Полное относительное перемещение произвольного сечения стержня вычислится следующим образом

С учетом (1) для установившихся колебаний стержня средняя по времени запасенная энергия колебаний равна

где Е_k = áΠ_kñ + áΚ_kñ - средняя по времени энергия в k-ом уровне причинно-следственной последовательности колебательного движения стержня,

усредненные по времени за один цикл потенциальная и кинетическая энергии стержня в k-ом уровне, T - период вынужденных колебаний. Заметим, что для членов суммы (2) строго выполняется условие E_k>0. Если амплитуда внешней силы имеет конечное значение (А~1), то сумма (2) неограниченно возрастает. Но это нелепо, т.к. нарушается один из фундаментальных законов физики - закон сохранения энергии. Вследствие нарушения закона сохранения энергии получаются новые фиктивные силы и резонансные частоты [1]. Покажем, что ложные резонансы появляются в каждом из уровнях причинно-следственной цепи колебательного процесса стержня. Например, используя решение (12) из [1], следуя приведенной схеме, для второго уровня получаем четыре новых резонансов

ω = ( 7 ± 4√3 )k_m

ω = ( 9 ± 4√5 )k_m

И вообще резонансы n-го уровня причинно-следственной цепи определяются из следующего выражения

ω = [(2n²± 1) ± 2n(n²± 1)^1/2]k_m, n=1, 2, . . .

Все эти резонансные значения, кроме ω=k_m, ложные.

Итак, ответ на поставленный вопрос, по нашему мнению, отрицательный. Второе предположение в [1] физически несостоятельно. Вследствие допущения произвола при определении причинно-следственной связи колебательного процесса, нарушается закон сохранения энергии. Так называемая дополнительная сила (силы) и новые резонансные частоты в действительности не существуют.

Литература

1. Мкртчян К.Ш. O двойственном характере поперечных колебаний упругого стержня // ПММ. 1999. Т.63. Вып.6. С. 1055-1058.

2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712с.

Manukyan Levon

On the Issue of Duality of Transverse Oscillations of the Elastic Beam